Квадратные выражения формулы. Формулы сокращенного умножения — Гипермаркет знаний

Алгебра 7-9 классы. 7. Формулы сокращенного умножения – Всё для чайников

Квадратные выражения формулы. Формулы сокращенного умножения — Гипермаркет знаний

Подробности Категория: Алгебра 7-9 классы

Умножение разности двух выражении на их сумму

Умножим разность на сумму :

Значит,

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Тождество выше является одной из формул сокращенного умножения. Эта формула позволяет сокращенно выполнять умножение разности выражений на их сумму. Например:

 РАЗЛОЖЕНИЕ РАЗНОСТИ КВАДРАТОВ НА МНОЖИТЕЛИ

Поменяем местами в тождестве правую и левую части. Получим:

Это тождество называют формулой разности квадратов.

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

Формула разности квадратов применяется для разложения на множители разности квадратов любых двух выражений.

Разложим» например, на множители двучлен . Представив этот двучлен в виде разности квадратов и применив формулу, получим:

Возведение в квадрат суммы и разности двух выражении

Рассмотрим еще две формулы сокращенного умножения. Возведем в квадрат сумму . Для этого представим выражение в виде произведения и выполним умножение:

Значит,

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

Тождество (1) называют формулой квадрата суммы. Эта формула позволяет упрощать возведение в квадрат суммы двух выражений. Например,

Рассмотрим теперь квадрат разности а. Так как разность можно представить в виде суммы то по формуле квадрата суммы имеем:

Значит,

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

Тождество (2) называют формулой квадрата разности. Эта формула позволяет упрощать возведение в квадрат любой разности. Например,

Заметим, что тождество (2) можно получить и умножением на  по правилу умножения многочлена на многочлен.

  РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ КВАДРАТА СУММЫ И КВАДРАТА РАЗНОСТИ

Формулы квадрата суммы и квадрата разности дают возможность не только упрощать возведение в квадрат суммы и разности, но и раскладывать на множители выражения вида .

Действительно, поменяв местами в этих формулах левую и правую части, получим:

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Разложим на множители трехчлен .

Первое слагаемое представляет собой квадрат выражения , третье — квадрат числа 5. Так как второе слагаемое равно удвоенному произведению Зх и 5, то этот трехчлен можно представить в виде квадрата суммы Зх и 5:

Пример 2. Разложим на множители многочлен

ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕ К СУММЕ И РАЗНОСТИ КУБОВ

Умножим сумму на выражение

Мы получили тождество

Выражение напоминает трехчлен , который равен квадрату разности а и b. Однако в этом выражении вместо удвоенного произведения а и Ъ стоит просто их произведение. Выражение вида называют неполным квадратом разности.Полученное тождество представляет собой формулу сокращенного умножения суммы двух выражений на неполный квадрат их разности.

Произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности равно сумме кубов этих выражений.

Пример 1. Представим в виде многочлена произведение

Так как первый множитель есть сумма выражений m и Зn, а второй — неполный квадрат их разности, то данное произведение равно сумме кубов этих выражений:

Преобразуем теперь в многочлен произведение разности и выражения , которое называют неполным квадратом суммы а и b:

Мы получили тождество

Это тождество представляет собой формулу сокращенного умножения разности двух выражений на неполный квадрат их суммы.

Произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности кубов этих выражений.

Пример 2. Представим в виде многочлена выражение Это выражение является произведением разности двух одночленов и неполного квадрата их суммы. Поэтому

 РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ СУММЫ И РАЗНОСТИ КУБОВ

Поменяем в тождестве местами левую и правую части. Получим:

Это тождество называют формулой суммы кубов.

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

Формула суммы кубов применяется для разложения на множители суммы кубов любых двух выражений.

Пример 1. Разложим на множители многочлен .

Данный многочлен можно представить в виде суммы кубов двух выражений:

Применив формулу суммы кубов, получим:

Итак,

Аналогично может быть получена формула разности кубов. Поменяв местами в формуле левую и правую части, будем иметь:

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

Пример 2. Разложим на множители многочлен .

Представим данный многочлен в виде разности кубов двух выражений и, применив формулу, получим:

 ПРИМЕНЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СПОСОБОВ РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ

Для разложения многочлена на множители иногда приходится применять несколько способов.

Пример 1. Разложим на множители многочлен

Все члены многочлена имеют общий множитель . Вынесем этот множитель за скобки:

Трехчлен можно представить в виде квадрата суммы Зх и  1. Поэтому

Итак,

Пример 2. Разложим на множители многочлен

Сначала вынесем за скобки общий множитель :

Попытаемся теперь разложить на множители многочлен

Сгруппировав первый член со вторым и третий с четвертым, будем иметь:

Окончательно получим:

Пример 3. Разложим на множители многочлен .

Сгруппировав первый, второй и четвертый члены многочлена, получим трехчлен, который можно представить в виде квадрата разности:

Полученное выражение можно разложить на множители по формуле разности квадратов:

Следовательно,

Все формулы сокращенного умножения, объяснения, примеры

Квадратные выражения формулы. Формулы сокращенного умножения — Гипермаркет знаний

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Формулы сокращённого умножения позволяют производить тождественные преобразования выражений – многочленов.

С их помощью многочлены можно разложить на множители, а применяя формулы в обратном порядке – представлять произведения двучленов, квадраты и кубы в виде многочленов.

Рассмотрим все общепринятые формулы сокращённого умножения, их вывод, распространённые задачи на тождественные преобразования выражений с помощью этих формул, а также домашние задания (ответы к ним открываются по ссылкам).

Квадрат суммы

Формулой квадрата суммы называется равенство

(квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа).

Вместо a и b в эту формулу могут быть подставлены любые числа.

Формула квадрата суммы часто применяется для упрощения вычислений. Например,

.

С помощью формулы квадрата суммы многочлен можно разложить на множители, а именно, представить в виде произведения двух одинаковых множителей .

Формула следует из правила умножения многчлена на многочлен:

Пример 1. Записать в виде многочлена выражение

.

Решение. По формуле квадрата суммы получаем

Пример 2. Записать в виде многочлена выражение

.

Решение. По формуле квадрата суммы получаем

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Разложить на множители

.

Правильное решение и ответ.

Квадрат разности

Формулой квадрата разности называется равенство

(квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа).

Формула квадрата разности часто применяется для упрощения вычислений. Например,

.

С помощью формулы квадрата разности многочлен можно разложить на множители, а именно, представить в виде произведения двух одинаковых множителей .

Формула следует из правила умножения многчлена на многочлен:

Пример 5. Записать в виде многочлена выражение

.

Решение. По формуле квадрата разности получаем

.

Выделение полного квадрата

Часто в многочлене второй степени содержится квадрат суммы или разности, но содержится в скрытом виде. Чтобы получить полный квадрат в явном виде, нужно преобразовать многочлен. Для этого, как правило, одно из слагаемых многочлена представляется в виде удвоенного произведения, а затем к многочлену прибавляется и из него вычитается одно и то же число.

Пример 7. Рассмотрим многочлен второй степени

.

Решение. Этот многочлен можно преобразовать следующим образом:

Здесь мы представили 5x в виде удвоенного произведения 5/2 на x, прибавили к многочлену и вычли из него одно и то же число , далее применили формулу квадрата суммы для двучлена .

Итак, мы доказали равенство

,

показывающее, что многочлен второй степени

равен полному квадрату плюс число .

Пример 8. Рассмотрим многочлен второй степени

.

Решение. Проведём над ним следующие преобразования:

.

Здесь мы представили 8x в виде удвоенного произведения x на 4, прибавили к многочлену и вычли из него одно и то же число 4², применили формулу квадрата разности для двучлена x − 4.

Итак, мы доказали равенство

,

показывающее, что многочлен второй степени

равен полному квадрату плюс число −16.

Куб суммы

Формулой куба суммы называется равенство

(куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго и плюс куб второго числа).

С помощью формулы куба суммы многочлен можно разложить на множители, а именно, представить в виде произведения трёх одинаковых множителей .

Формула куба суммы выводится так:

Пример 10. Записать в виде многочлена выражение

.

Решение. По формуле куба суммы получаем

Куб разности

Формулой куба разности называется равенство

(куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго числа).

С помощью формулы куба суммы многочлен можно разложить на множители, а именно, представить в виде произведения трёх одинаковых множителей .

Формула куба разности выводится так:

Пример 12. Записать в виде многочлена выражение

.

Решение. По формуле куба разности получаем

Разность квадратов

Формулой разности квадратов называется равенство

(разность квадратов двух чисел равна произведению суммы эти чисел на их разность).

С помощью формулы куба суммы любой многочлен вида можно разложить на множители.

Доказательство формулы получено с применением правила умножения многочленов:

Пример 14. Записать в виде многочлена произведение

.

Решение. По формуле разности квадратов получаем

Пример 15. Разложить на множители

.

Решение. Это выражение в явной форме ни под одно тождество не подходит. Но число 16 можно представить в виде степени с основанием 4: 16=4². Тогда исходное выражение примет иной вид:

,

а это уже формула разности квадратов, и, применив эту формулу, получим

Сумма кубов

Формулой суммы кубов называется равенство

(сумма кубов двух чисел равна произведению суммы эти чисел на неполный квадрат разности этих чисел).

Неполным квадратом разности a и b называется многочлен .

С помощью формулы куба суммы любой многочлен вида можно разложить на множители.

Доказательство формулы получено с применением правила умножения многочленов:

Пример 17. Записать в виде многочлена произведение

.

Решение. Возводим в третью степень слагаемые в первых скобках и получаем их сумму:

.

Тот же результат получаем, выполняя умножение выражений в скобках по правилам умножения многочленов:

Разность кубов

Формулой разности кубов называется равенство

(разность кубов двух чисел равна произведению разности эти чисел на неполный квадрат суммы этих чисел).

Неполным квадратом разности a и b называется многочлен .

С помощью формулы куба суммы любой многочлен вида можно разложить на множители.

Пример 19. Записать в виде многочлена произведение

.

Решение. Возводим в третью степень слагаемые в первых скобках:

Получаем разность этих кубов:

Формулы сокращенного умножения. Подробная теория с примерами

Квадратные выражения формулы. Формулы сокращенного умножения — Гипермаркет знаний



Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Как мне могут пригодиться эти формулы сокращенного умножения?! 

Хороший вопрос… Вот тебе пример из жизни.

У тебя есть квадратная комната 103 на 103 метра (хорошая комната, правда?) и тебе нужно застелить ее плитками метр на метр. Сколько нужно плиток? Продавец – твой друг – говорит, что тебе нужно “около 12000 плиток”. Проверять его расчеты тебе не удобно, но ты можешь посчитать в уме! С помощью формул сокращенного умножения. 

Просто представь  , как сумму   и   и возведи ее в квадрат:

В общем понятно? 

С помощью формул сокращенного умножения можно легко в уме находить квадраты больших чисел. На экзамене можно проверить БЫСТРО свои расчеты в сложных примерах а так же приводить многочлен к стандартному виду (без раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых). 

Иными словами это сильно экономит время при решении самых разных задач! А время – это… сдашь ты экзамен или нет, поступишь ты на бюджет или тебе придется платить за учебу.  В общем…

Let's dive right in… (Хватить болтать! Пора за дело!) 

Семь основных формул сокращенного умножения Квадрат суммы и квадрат разности Формулы сокращенного умножения. Тренировка. Формулы сокращенного умножения. Итог. Формулы сокращенного умножения. Доказательство. Применение формул сокращенного умножения при решении примеров

Семь основных формул сокращенного умножения

  1. Квадрат суммы:
  2. Квадрат разности:
  3. Разность квадратов:
  4. Куб суммы:
  5. Куб разности:
  6. Сумма кубов:
  7. Разность кубов:

Те же формулы сокращенного умножения списком:

Квадрат суммы и квадрат разности

Название «Формулы сокращенного умножения» совсем не случайно.

Возьмем самую простую первую формулу квадрат суммы   – и попробуем последовательно возвести сумму в скобках в квадрат, то есть, умножить   само на себя:

Посмотри, что еще можно сделать с тем выражением, которое у нас получилось? Правильно, привести подобные слагаемые:

Таким образом выводятся все формулы сокращенного умножения. Ты можешь выводить их каждый раз самостоятельно, а можешь не тратить на это время и быстро посчитать необходимый пример, зная конечное значение формул.

Конечно, квадрат суммы посчитать вручную не так сложно, но что ты скажешь насчет куба суммы или куба разности? Куб суммы означает, что необходимо   само умножить на себя три раза:

И это мы расписали перемножение только первой скобки, а тоже самое необходимо сделать со второй и с третьей… Согласись, запутаться очень легко, а, как правило, от того, как ты посчитаешь это простое действие, зависит ответ всего примера.

Таким образом, формулы сокращенного умножения позволяют сократить трудоемкое перемножение членов друг на друга и получить быстрый результат.

Как выводится формула для квадрата суммы, мы описали ранее. Попробуем произвести аналогичные действия с квадратом разности.

Квадрат разности означает умножить   само на себя. Попробуй вывести формулу для данного выражения самостоятельно, по аналогии с квадратом суммы.

Справился? Посмотрим, как ты раскрыл скобки:

 Что мы делаем дальше? Правильно, приводим подобные слагаемые:

Ты наверняка уже заметил некую закономерность? Присмотрись внимательно к формулам квадрат суммы и квадрат разности. В чем их отличие?

Конечно, ты увидел, что если мы возводим в квадрат разность между   и  , то мы вычитаем их удвоенное произведение, а если возводим в квадрат сумму, то прибавляем. При возведении разности и суммы в квадрат, не забывай про удвоенное произведение чисел   и  ! Это грубейшая и самая распространенная ошибка!

Формулы сокращенного умножения. Итог

Подведем небольшой итог и запишем формулы квадрата суммы и разности в одну строку:

Теперь потренируемся «собирать» формулу из разложенного вида   в вид  . Данный навык понадобится нам в дальнейшем при преобразовании больших выражений.

Допустим, у нас есть следующее выражение:

 .

Мы знаем, что квадрат суммы (или разности) – это квадрат одного числа   квадрат другого числа и   удвоенное произведение этих чисел.

В данной задаче легко увидеть квадрат одного числа – это  . Соответственно, одно из чисел, входящих в скобку   , – это квадратный корень из  , то есть

Так как во втором слагаемом есть  , значит, это удвоенное произведение одного и другого числа, соответственно:

 , где   – второе число, входящее в нашу скобку.

 . Второе число, входящее в скобку, равно  .

Проверим.   должно быть равно  . Действительно так и есть, значит, мы нашли оба числа, присутствующие в скобках:   и  . Осталось определить знак, который стоит между ними. Как ты думаешь, что за знак там будет?

Правильно! Так как мы прибавляем удвоенное произведение, то между числами будет стоять знак сложения. Теперь запиши преобразованное выражение. Справился? У тебя должно получиться следующее:

Заметь: перемена мест слагаемых не сказывается на результате (неважно, сложение или вычитание стоит между   и  ).

Совершенно необязательно, чтобы слагаемые в преобразуемом выражении стояли так, как написано в формуле. Посмотри на это выражение:  . Попробуй преобразовать его самостоятельно. Получилось?

Потренируйся – преобразуй следующие выражения:

Ответы: Справился? Закрепим тему. Выбери из приведенных ниже выражений те, которые можно представить в виде квадрата суммы или разности.

  1.   – докажи, что это равносильно.

И еще:

Ответы:

  1.  – нельзя представить как квадрат; можно было бы представить, если вместо   было  .

Преобразование элементарных выражений (квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов)

Допустим, нам дан пример

 .

Необходимо упростить данное выражение. Посмотри внимательно, что ты видишь в числителе? Правильно, числитель – это полный квадрат:

Упрощая выражение, помни, что подсказка, в какую сторону двигаться в упрощении, находится в знаменателе (или в числителе). В нашем случае, когда знаменатель разложен, и больше ничего сделать нельзя, можно понять, что числителем будет либо квадрат суммы, либо квадрат разности. Так как мы прибавляем  , то становится ясно, что числитель – квадрат суммы.

Попробуй самостоятельно преобразовать следующие выражения:

Получилось? Сравниваем ответы и двигаемся дальше!

Куб суммы и куб разности

Формулы куб суммы и куб разности выводятся аналогичным образом, как квадрат суммы и квадрат разности: раскрытием скобок при перемножении членов друг на друга.

Если квадрат суммы и квадрат разности запомнить весьма легко, то возникает вопрос «как запомнить кубы?»

Посмотри внимательно на две описываемые формулы в сравнении с возведением аналогичных членов в квадрат:

Какую ты видишь закономерность?

1. При возведении в квадрат у нас есть квадрат первого числа и квадрат второго; при возведении в куб – есть куб одного числа и куб другого числа.

2. При возведении в квадрат, у нас есть удвоенное произведение чисел (числа в 1 степени, что на одну степень меньше чем та, в которую возводим выражение); при возведении в кубутроенное произведение, при котором одно из чисел возводится в квадрат (что так же на 1 степень меньше, чем степень, в которую возводим выражение).

3. При возведении в квадрат знак в скобках в раскрытом выражении отражается при прибавлении (или вычитании) удвоенного произведения – если в скобках сложение, то прибавляем, если вычитание – отнимаем; при возведении в куб правило такое: если у нас куб суммы, то все знаки «+», а если куб разности, то знаки чередуются: « » – « » – « » – « ».

Всё перечисленное, кроме зависимости степеней при умножении членов, изображено на рисунке.

Потренируемся? Раскрой скобки в следующих выражениях:

Сравни полученные выражения:

Разность и сумма кубов

Рассмотрим последнюю пару формул разность и сумму кубов.

Как мы помним, в разности квадратов у нас идет перемножение разности и суммы данных чисел одно на другое. В разности кубов и в сумме кубов также имеется две скобки:

 ;

 .

1 скобка – разность (или сумма) чисел в первой степени (в зависимости от того, разность или сумму кубов мы раскрываем);

2 скобка – неполный квадрат (присмотрись: если бы мы вычитали (или прибавляли) удвоенное произведение чисел, был бы квадрат), знак при перемножении чисел противоположный знаку изначального выражения.

Для закрепления темы решим несколько примеров:

Сравни полученные выражения:

Подведем итоги:

Существует 7 формул сокращенного умножения:

Продвинутый уровень

Формулы сокращенного умножения – это формулы, зная которые можно избежать выполнения некоторых стандартных действий при упрощении выражений или разложении многочленов на множители. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть!

  1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения:
  2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения:
  3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы:
  4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения:
  5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения:
  6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений:
  7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений:

Теперь докажем все эти формулы.

Формулы сокращенного умножения. Доказательство

1.  . Возвести выражение в квадрат – значит умножить его само на себя:

 .

Раскроем скобки и приведем подобные:

 .

2.  . Делаем то же самое: умножаем разность саму на себя, раскрываем скобки и приводим подобные:

 .

3.  . Возьмем выражение в правой части и раскроем скобки:

 .

4.  .
Число в кубе можно представить как это число умноженное на свой квадрат:

5.  

Аналогично:
 

В разности кубов знаки чередуются.

6.  . Раскроем скобки в правой части:

 .

7.  . Раскроем скобки в правой части:

 .

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров

Пример 1:

Найдите значение выражений:

Решение:

  1. Используем формулу квадрат суммы: .
  2. Представим это число в виде разности и используем формулу квадрата разности: .

Пример 2:

Найдите значение выражения:  .

Решение:

Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим:

 .

Пример 3:

Упростите выражение:

 .

Решение двумя способами:

I способ.

Воспользуемся формулами квадрат суммы и квадрат разности:

II способ.

Воспользуемся формулой разности квадратов двух выражений:

ТЕПЕРЬ ТВОЕ СЛОВО..

Я рассказал все, что знаю о формулах сокращенного умножения.

Расскажи теперь ты будешь ли ты ими пользоваться? Если нет, то почему?

Как тебе эта статья?

Возможно у тебя есть вопросы. Или предложения.

Формулы сокращенного умножения с примерами

Квадратные выражения формулы. Формулы сокращенного умножения — Гипермаркет знаний

ФСУ используются при упрощении алгебраических выражений (в том числе в работе с алгебраическими дробями),решении уравнений и неравенств, при разложении на множители и т.д. Ниже мы рассмотрим наиболее популярные формулы и разберем как они получаются.

Пусть у нас возводиться в квадрат сумма двух одночленов, вот так: \((a+b)2\). Возведение в квадрат – это умножение числа или выражения само на себя, то есть, \((a+b)2=(a+b)(a+b)\). Теперь мы можем просто раскрыть скобки, перемножив их как делали это здесь, и привести подобные слагаемые. Получаем:

А если мы опустим промежуточные вычисления и запишем только начальное и конечное выражения, получим окончательную формулу:

Квадрат суммы: \((a+b)2=a2+2ab+b2\)

Большинство учеников учат ее наизусть. А вы теперь знаете, как эту формулу вывести, и если вдруг забудете – всегда можете это сделать.
Хорошо, но как ей пользоваться и зачем эта формула нужна? Квадрат суммы позволяет быстро писать результат возведения суммы двух слагаемых в квадрат. Давайте посмотрим на примере.

Пример. Раскрыть скобки: \((x+5)2\)
Решение:

Обратите внимание, насколько быстрее и меньшими усилиями получен результат во втором случае. А когда вы эту и другие формулы освоите до автоматизма – будет еще быстрее: вы сможете просто сразу же писать ответ. Поэтому они и называются формулы СОКРАЩЕННОГО умножения. Так что, знать их и научиться применять – точно стоит.

На всякий случай отметим, что в качестве \(a\) и \(b\) могут быть любые выражения – принцип остается тем же. Например:

Если вы вдруг не поняли какие-то преобразования в двух последних примерах – повторите свойства степеней и тему приведения одночлена к стандартному виду.

Пример. Преобразуйте выражение \((1+5x)2-12x-1 \) в многочлен стандартного вида.

Решение:

\((1+5x)2-12x-1= \)Раскроем скобки, воспользовавшись формулой квадрата суммы…
\(=1+10x+25×2-12x-1=\)…и приведем подобные слагаемые.
\(=25×2-2x\)Готово.

Ответ: \(25×2-2x\).

Важно! Необходимо научиться пользоваться формулами не только в «прямом», но и в «обратном» направлении.

Пример. Вычислите значение выражения \((368)2+2·368·132+(132)2\) без калькулятора.

Решение:

\((368)2+2·368·132+(132)2=\)Мда… возводить в квадрат трехзначные числа, перемножить их же, а потом все это складывать – удовольствие ниже среднего. Давайте искать другой путь: обратите внимание, что данное нам числовое выражение очень похоже на правую часть формулы. Применим ее в обратную сторону: \(a2+2ab+b2=(a+b)2\)
\(=(368+132)2=\)Вот теперь вычислять гораздо приятнее!
\(=(500)2=250 000.\)Готово.

Ответ: \(250 000\).

Выше мы нашли формулу для суммы одночленов. Давайте теперь найдем формулу для разности, то есть, для \((a-b)2\):

В более краткой записи имеем:

Квадрат разности: \((a-b)2=a2-2ab+b2\)

Применяется она также, как и предыдущая.

Пример. Упростите выражение \((2a-3)2-4(a2-a)\) и найдите его значение при \(a=\frac{17}{8}\).

Решение:

\((2a-3)2-4(a2-a)=\)Если сразу подставить дробь в выражение – придется возводить ее в квадрат и вообще делать объемные вычисления. Попробуем сначала упростить выражение, воспользовавшись формулой выше и раскрыв скобки.
\(=4a2-12a+9-4a2+4a=\)Теперь приведем подобные слагаемые.
\(=-8a+9=\)Вот теперь подставляем и наслаждаемся простотой вычислений.
\(=-8·\frac{17}{8}+9=-17+9=8\)Пишем ответ.

Ответ: \(8\).

Итак, мы разобрались с ситуациями произведения двух скобок с плюсом в них и двух скобок с минусом. Остался случай произведения одинаковых скобок с разными знаками. Смотрим, что получится:

Получили формулу:

Разность квадратов \(a2-b2=(a+b)(a-b)\)

Эта формула одна из наиболее часто применяемых при разложении на множители и работе с алгебраическими дробями. 

Пример. Сократите дробь \(\frac{x2-9}{x-3}\).

Решение:

\(\frac{x2-9}{x-3}\)\(=\)Да, я знаю, что рука так и тянется сократить иксы и девятку с тройкой – однако так делать ни в коем случае нельзя, ведь и в числителе, и в знаменателе стоит минус! Попробуем воспользоваться формулой.
\(=\) \(\frac{x2-32}{x-3}\)\(=\)\(\frac{(x+3)(x-3)}{x-3}\)\(=\)Вот теперь все плюсы и минусы попрятались в скобки, и значит без проблем можем сокращать одинаковые скобки.
\(=x+3\)Готов ответ.

Ответ: \(x+3\).

Пример.Разложите на множители \(25×4-m{10} t6\).
Решение:

\(25×4-m{10} t6\)Воспользуемся формулами степеней: \((an )m=a{nm}\) и \(an bn=(ab)n\).
\(=(5×2 )2-(m5 t3 )2=\)Ну, а теперь пользуемся формулой \(a2-b2=(a+b)(a-b)\), где \(a=5×2\) и \(b=m5 t3\).
\(=(5×2-m5 t3 )(5×2+m5 t3 )\)Готов ответ.

Это три основные формулы, знать которые нужно обязательно! Есть еще формулы с кубами (см. выше), их тоже желательно помнить либо уметь быстро вывести. Отметим также, что в практике часто встречаются сразу несколько таких формул в одной задаче – это нормально. Просто приучайтесь замечать формулы и аккуратно применяйте их, и все будет хорошо.

Пример (повышенной сложности!).Сократите дробь \(\frac{x2-4xy-9+4y2}{x-2y+3}\) .
Решение:

\(\frac{x2-4xy-9+4y2}{x-2y+3}\)\(=\)На первый взгляд тут тихий ужас и сделать с ним ничего нельзя (вариант «лечь и помереть» всерьез не рассматриваем). Однако давайте попробуем поменять два последних слагаемых числителя местами и добавим скобки (просто для наглядности).
\(\frac{(x2-4xy+4y2)-9}{x-2y+3}\)\(=\)Теперь немного преобразуем слагаемые в скобке: \(4xy\) запишем как \(2·x·2y\), а \(4y2\) как \((2y)2\).
\(\frac{(x2-4xy+(2y)2)-9}{x-2y+3}\)\(=\)Теперь приглядимся – и заметим, что в скобке у нас получилась формула квадрата разности, у которой \(a=x\), \(b=2y\). Сворачиваем по ней к виду скобки в квадрате. И одновременно представляем девятку как \(3\) в квадрате.
\(\frac{(x-2y)2-32}{x-2y+3}\)\(=\)Еще раз внимательно смотрим на числитель… думаем… думаем… и замечаем формулу разности квадратов, у которой \(a=(x-2y)\), \(b=3\). Раскладываем по ней к произведению двух скобок.
\(\frac{(x-2y-3)(x-2y+3)}{x-2y+3}\)\(=\)И вот теперь сокращаем вторую скобку числителя и весь знаменатель.
\(x-2y-3\)Готов ответ.

Скачать статью

Формулы сокращенного умножения: таблица, примеры использования

Квадратные выражения формулы. Формулы сокращенного умножения — Гипермаркет знаний

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто эти формулы позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.

В данной статье мы перечислим основные формулы сокращенного умножения, сгруппируем их в таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.

Формулы сокращенного умножения. Таблица

Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса “Алгебра” за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул.

Формулы сокращенного умножения

  1. формула квадрата суммы: a+b2=a2+2ab+b2
  2. формула квадрата разности: a-b2=a2-2ab+b2
  3. формула куба суммы: a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3
  4. формула куба разности: a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3
  5. формула разности квадратов: a2-b2=a-ba+b
  6. формула суммы кубов: a3+b3=a+ba2-ab+b2
  7. формула разности кубов: a3-b3=a-ba2+ab+b2

Буквами a, b, c в данных выражениях могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул наизусть. Сведем их в таблицу и приведем ниже, обведя рамкой.

Первые четыре формулы позволяют вычислять соответственно квадрат или куб суммы или разности двух выражений.

Пятая формула вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.

Шестая и седьмая формулы – соответственно умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы. 

Формула сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.

При решении практических примеров часто используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Не будем ограничиваться курсом 7 класса по алгебре и добавим в нашу таблицу ФСУ еще несколько формул. 

Во-первых, рассмотрим формулу бинома Ньютона.

a+bn=Cn0·an+Cn1·an-1·b+Cn2·an-2·b2+..+Cnn-1·a·bn-1+Cnn·bn

Здесь Cnk – биномиальные коэффициенты, которые стоят в строке под номером n в треугольнике паскаля.  Биномиальные коэффициенты вычисляются по формуле:

Cnk=n!k!·(n-k)!=n(n-1)(n-2)..(n-(k-1))k!

Как видим, ФСУ для квадрата и куба разности и суммы – это частный случай формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3соответственно.

Но что, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.

a1+a2+..+an2=a12+a22+..+an2+2a1a2+2a1a3+..+2a1an+2a2a3+2a2a4+..+2a2an+2an-1an

Как читать эту формулу? Квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.

Еще одна формула, которая может пригодится – формула формула разности n-ых степеней двух слагаемых.

an-bn=a-ban-1+an-2b+an-3b2+..+a2bn-2+bn-1

Эту формулу обычно разделяют на две формулы – соответственно для четных и нечетных степеней. 

Для четных показателей 2m:

a2m-b2m=a2-b2a2m-2+a2m-4b2+a2m-6b4+..+b2m-2

Для нечетных показателей 2m+1:

a2m+1-b2m+1=a2-b2a2m+a2m-1b+a2m-2b2+..+b2m

Формулы разности квадратов и разности кубов, как вы догадались, являются частными случаями этой формулы при n=2 и n=3 соответственно. Для разности кубов b также заменяется на -b.

Как читать формулы сокращенного умножения?

Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.

a+b2=a2+2ab+b2.

Говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.

Все остальные формулы читаются аналогично. Для квадрата разности a-b2=a2-2ab+b2  запишем:

квадрат разности двух выражений a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.

Прочитаем формулу a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3. Куб суммы двух выражений a и b равен сумме кубов этих выражений,  утроенного произведения квадрата первого выражения на второе и утроенного произведения квадрата второго выражения на первое выражение.

Переходим к чтению формулы для разности кубов a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3. Куб разности двух выражений a и b равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое выражение, минус куб второго выражения.

Пятая формула a2-b2=a-ba+b (разность квадратов) читается так: разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы двух выражений.

Выражения типа a2+ab+b2 и a2-ab+b2 для удобства называют соответственно неполным квадратом суммы и неполным квадратом разности.

С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитаются так:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Доказательство ФСУ

Доказать ФСУ довольно просто. Основываясь на свойствах умножения, проведем умножение частей формул в скобках.

Для примера рассмотрим формулу квадрата разности.

a-b2=a2-2ab+b2.

Чтобы возвести выражение во вторую степень нужно это выражение умножить само на себя.

a-b2=a-ba-b.

Раскроем скобки:

a-ba-b=a2-ab-ba+b2=a2-2ab+b2.

Формула доказана. Остальные ФСУ доказываются аналогично.

Примеры применения ФСУ

Цель использования формул сокращенного умножения – быстрое и краткое умножение и возведение выражений в степень. Однако, это не вся сфера применения ФСУ. Они широко используются при сокращении выражений, сокращении дробей, разложении многочленов на множители. Приведем примеры.

Пример 1. ФСУ

Упростим выражение 9y-(1+3y)2.

Применим формулу суммы квадратов и получим:

9y-(1+3y)2=9y-(1+6y+9y2)=9y-1-6y-9y2=3y-1-9y2

Пример 2. ФСУ

Сократим дробь 8×3-z64x2-z4.

Замечаем, что выражение в числителе – разность кубов, а в знаменателе – разность квадратов.

8×3-z64x2-z4=2x-z(4×2+2xz+z4)2x-z2x+z.

Сокращаем и получаем:

8×3-z64x2-z4=(4×2+2xz+z4)2x+z

Также ФСУ помогают вычислять значения выражений. Главное – уметь заметить, где применить формулу. Покажем это на примере.

Возведем в квадрат число 79. Вместо громоздких вычислений, запишем:

79=80-1;792=80-12=6400-160+1=6241.

Казалось бы, сложное вычисление проведено быстро всего лишь с использованием формул сокращенного умножения и таблицы умножения.

Еще один важный момент – выделение квадрата двучлена. Выражение 4×2+4x-3 можно преобразовать в вид 2×2+2·2·x·1+12-4=2x+12-4. Такие преобразования широко используются в интегрировании.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.